Comenzó su formación en danza clásica a los diez años de la mano de Víctor Ullate. En mayo de 1991, ganó el Primer Premio en el Concurso de Ballet Nacional de España, pasando a formar parte de la Compañía de Ballet de Víctor Ullate.

Tras ser preparado por la Ballet Mistress, Karemia Moreno, en diciembre de 1994, recibe el Gran Premio y la Medalla de Oro, máximas distinciones en el Concurso Internacional de Danza de París.

En abril de 1995, se incorpora al American Ballet Theatre como Solista, y obtiene la categoría de Bailarín Principal un año más tarde.

Ángel Corella es también estrella invitada del Royal Ballet de Londres, del Ballet de Australia, de la Scala de Milán, del Ballet de Chile, del Ballet de Hungría, del Ballet de Georgia, del Ballet de Finlandia, del Ballet de Puerto Rico, del Asami Maki Ballet de Tokio, del Bolshoi Ballet, del New York City Ballet y del Kirov Ballet de San Petersburgo, donde colabora de forma habitual en sus temporadas de Ballet.

En el año 2000, fue galardonado con el Premio Internacional “Benois de la Danse” (considerado el “Oscar” del ballet) por su trabajo en Other Dances de Jerome Robbins.

A lo largo de su andadura profesional ha representado todos los roles principales del repertorio clásico y neo-clásico. Clásico: Basilio en Don Quijote; Alí y Conrad en El Corsario; Solor en La Bayadère; Príncipe Deseado en La Bella Durmiente; Romeo en Romeo y Julieta; Colás en La Fille mal Gardée; Danilo y Camilo en La viuda alegre; Sigfrido en El Lago de los Cisnes; Albretch en Giselle, Aminta en Sylvia, ‘Principe en Cascanueces’; Lensky en Onegin; Des Grieux en Manon; James en La Sylphide etc. Neo-clásico: Fancy free de Jerome Robbins; Americans We, Push come to show, Concerto No.1 for Piano and Orchestra de Twyla Tharp; Tema y variaciones, Mozartiana, Allegro Brillante de G. Balanchine; Clear y We got it good de Stanton Welch; In the Middle is somewhat elevated, Workwhitinwork, Pettit Mort, Sechs Tänze, Symphonieta de Jiri Kylian; Enrique VIII de Christopher Wheeldon, etc.

Coreógrafos de la talla de John Neumeier, Twyla Tharp, Mark Morris, Christopher Wheeldon o David Parson, entre otros, han creado trabajos especialmente para él.

El 4 de noviembre de 2002 le fue concedido el Premio Nacional de Danza en la modalidad de “Interpretación”, en reconocimiento a la excepcionalidad de su danza y como representante de toda una generación de artistas españoles que han destacado en compañías internacionales.

Ángel Corella bailó en el estreno de la temporada de otoño del City Center de Nueva York, en una gala extraordinaria de lírica y danza con Cecilia Bartoli. La fórmula obtuvo tal éxito que se repitió nuevamente con las sopranos Ainhoa Arteta, Isabel Rey y Ángeles Blancas, en las ciudades de Barcelona, San Sebastián y Miami.
 
Nuevamente, en octubre de 2005, hace un guiño a la lírica bailando La danza de las Horas, con la bailarina Leticia Giuliani, dentro de la ópera La Gioconda en el Liceo de Barcelona y en el Metropolitan Opera House de Nueva Cork, ambas con un éxito de crítica y público sin precedentes, que se tradujeron en titulares como: “Cuando la Gioconda se llama Ángel Corella” o “Y la danza triunfó”. En la presentación de la Fundación Victoria de los Ángeles, en enero de 2007, bailó acompañado de la voz en off de la recordada Victoria, cantando O mio Bambino Caro

Ha bailado para grandes personalidades internacionales: La Reina Sofía e Infantas Elena y Cristina de España, La Reina Isabel II, y Princesa Margarita de Inglaterra, para los dos últimos presidentes americanos, Bill Clinton y George Bush, con motivo de la entrega de los premios Kennedy y, recientemente, ante la primera dama norteamericana Michelle Obama.

En 2005, protagonizó junto a Gillian Murphy una versión para televisión del Lago de los Cisnes, emitido por PBS, y que fue galardonada con un Premio EMI (2005-2006). Ángel Corella obtuvo una mención especial por su papel de Sigfrido en esta producción.

Desde el 2006 Ángel Corella forma parte del espectáculo Kings Of The Dance, conocido en el mundo de la danza como los tres tenores.

 En 2001 creó la Fundación que lleva su nombre con el propósito de fomentar el arte de la danza clásica, facilitando los medios a bailarines que, por circunstancias sociales, económicas o de otra índole, no puedan llevar a buen término su formación. Tras siete años de trabajo, uno de los grandes proyectos de la Fundación, el Corella Ballet, vio la luz y empezó su actividad el primero de abril de 2008, en la localidad segoviana de la Granja, donde la Fundación y la futura Escuela-Residencia de Danza tendrán su sede.

 En el 2008 ha sido galardonado con la Medalla Internacional de las Artes de la Comunidad de Madrid y con la Estrella de la Cultura de la ciudad de Salamanca.                  

En el 2009 el comité de la Fundación Premio Galileo 2000 compuesto por Jack Lang, Irene Papas, Irina Strozzi, Marco Giorgetti y Alfonso de Virgiliis concede a Ángel Corella el Premio Galileo 2000 por "su talento excepcional".